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题意
有一排砖，数量为 $n$，有红蓝绿黄 $4$ 种颜色，其中染成红和绿颜色的砖块的数量必须为偶数个，求可有多少种染色方案。
题解
构造指数型生成函数
$$Y(x) = B(x) = \sum_{i = 0} ^ {\infty} \frac {x ^ i} {i!}$$ $$R(x) = G(x) = \sum_{i = 0} ^ {\infty} \frac {x ^ {2i}} {(2i)!}$$根据泰勒展开有
$$e ^ x = \sum_{i = 0} ^ {\infty} \frac {x ^ i} {i!}$$ $$e ^ {-x} = \sum_{i = 0} ^ {\infty} \frac {(-x) ^ i} {i!}$$故
$$R(x) = G(x) = \frac {e ^ x + e ^ {-x}} {2}$$答案为
$$\begin{aligned}Y(x)B(x)R(x)G(x) &= (e ^ x) ^ 2(\frac {e ^ x + e ^ {-x}} {2}) ^ 2 \\ &= \frac {e ^ {4x} + 2e ^ {2x} + 1} {4} \\ &= \sum_{i = 0} ^ {\infty} \frac {4 ^ i + 2 * 2 ^ i} {4} \frac {x ^ i} {i!} \\ &= 4 ^ {n - 1} + 2 ^ {n - 1} \end{aligned}$$代码
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