「模拟测试」大逃杀

一棵树,经过一条边花费 $c_i$ 的时间,某些点上有障碍,经过额外花费 $t_i$ 时间,每个节点有 $w_i$ 的价值,求 $T$ 秒后获得的最大价值。

题解

令 $f[i][j]$ 表示以 $i$ 为根的子树中,花费 $j$ 的时间,从 $i$ 出发且回到 $i$ 的最大获利,$g[i][j]$ 表示以 $i$ 为根的子树中,花费 $j$ 的时间,从 $i$ 出发且不回到 $i$ 的最大获利(或从 $i$ 的子树出发回到 $i$),$h[i][j]$ 表示从以 $i$ 为根的子树中出发,经过 $i$ 并回到 $i$ 的子树内,花费 $j$ 的时间的最大获利。

于是我们有以下转移,$c$ 表示边上花费的时间:

  1. 从 $u$ 出发经过 $v$ 的状态再返回 $u$$$f[u][j + k + 2c] = \max\limits_{v \in u} \{f[u][j] + f[v][k]\}, j \leq T, T - j - 2c \geq 0, k \leq T - j - 2c$$
  2. 终点在 $u$,时间为 $j + k + 2c$,起点在 $u$ 进入子树的状态,经过 $v$ 并返回 $v$ 的状态,再返回 $u$$$g[u][j + k + 2c] = \max\limits_{v \in u} \{g[u][j] + f[v][k]\}, j \leq T, T - j - 2c \geq 0, k \leq T - j - 2c$$
  3. $$h[u][j + k + 2c] = \max\limits_{v \in u} \big\{\max\{h[u][j] + f[v][k], f[u][j] + h[v][k]\} \big\}, \\ j \leq T, T - j - 2c \geq 0, k \leq T - j - 2c$$
  4. $$g[u][j + k + c] = \max\limits_{v \in u} \{f[u][j] + g[v][k]\}, j \leq T, T - j - c \geq 0, k \leq T - j - c$$
  5. $$h[u][j + k + c] = \max\limits_{v \in u} \{g[u][j] + g[v][k]\}, j \leq T, T - j - c \geq 0, k \leq T - j - c$$

转移的时候会有顺序问题,所以我们将当前的 $f[u], g[u], h[u]$ 都复制一遍,再转移。

时间复杂度 $O(T ^ 2n)$。

代码

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/**
* Copyright (c) 2017, xehoth
* All rights reserved.
* 「SuperOJ 2012」大逃杀 26-10-2017
* 树形 DP
* @author xehoth
*/
#include <bits/stdc++.h>
namespace IO {
inline char read() {
static const int IN_LEN = 1000000;
static char buf[IN_LEN], *s, *t;
s == t ? t = (s = buf) + fread(buf, 1, IN_LEN, stdin) : 0;
return s == t ? -1 : *s++;
}
template <typename T>
inline bool read(T &x) {
static char c;
static bool iosig;
for (c = read(), iosig = false; !isdigit(c); c = read()) {
if (c == -1) return false;
c == '-' ? iosig = true : 0;
}
for (x = 0; isdigit(c); c = read()) x = x * 10 + (c ^ '0');
iosig ? x = -x : 0;
return true;
}
inline void read(char &c) {
while (c = read(), isspace(c) && c != -1)
;
}
inline int read(char *buf) {
register int s = 0;
register char c;
while (c = read(), !isprint(c) && c != -1)
;
if (c == -1) {
*buf = 0;
return -1;
}
do
buf[s++] = c;
while (c = read(), isprint(c) && c != -1);
buf[s] = 0;
return s;
}
const int OUT_LEN = 1000000;
char obuf[OUT_LEN], *oh = obuf;
inline void print(char c) {
oh == obuf + OUT_LEN ? (fwrite(obuf, 1, OUT_LEN, stdout), oh = obuf) : 0;
*oh++ = c;
}
template <typename T>
inline void print(T x) {
static int buf[30], cnt;
if (x == 0) {
print('0');
} else {
x < 0 ? (print('-'), x = -x) : 0;
for (cnt = 0; x; x /= 10) buf[++cnt] = x % 10 | 48;
while (cnt) print((char)buf[cnt--]);
}
}
inline void print(const char *s) {
for (; *s; s++) print(*s);
}
inline void flush() { fwrite(obuf, 1, oh - obuf, stdout); }
struct InputOutputStream {
template <typename T>
inline InputOutputStream &operator>>(T &x) {
read(x);
return *this;
}
template <typename T>
inline InputOutputStream &operator<<(const T &x) {
print(x);
return *this;
}
~InputOutputStream() { flush(); }
} io;
}
namespace {
const int MAXN = 310;
struct Node {
int v, w;
Node(int v, int w) : v(v), w(w) {}
};
typedef std::vector<Node>::iterator Iterator;
std::vector<Node> edge[MAXN + 1];
using IO::io;
int w[MAXN + 1], t[MAXN + 1], n, T;
int f[MAXN + 1][MAXN + 1], g[MAXN + 1][MAXN + 1], h[MAXN + 1][MAXN + 1];
inline void addEdge(const int u, const int v, const int w) {
edge[u].push_back(Node(v, w)), edge[v].push_back(Node(u, w));
}
inline void update(int &a, int b) { a < b ? a = b : 0; }
void dfs(const int u, const int fa) {
register int *f = ::f[u], *g = ::g[u], *h = ::h[u];
f[t[u]] = g[t[u]] = h[t[u]] = w[u];
memset(f, 0xc0, sizeof(int) * t[u]);
memset(g, 0xc0, sizeof(int) * t[u]);
memset(h, 0xc0, sizeof(int) * t[u]);
for (register Iterator p = edge[u].begin(); p != edge[u].end(); p++) {
if (p->v != fa) {
dfs(p->v, u);
static int tf[MAXN + 1], tg[MAXN + 1], th[MAXN + 1];
memcpy(tf, f, sizeof(int) * (T + 1));
memcpy(tg, g, sizeof(int) * (T + 1));
memcpy(th, h, sizeof(int) * (T + 1));
register int *nf = ::f[p->v], *ng = ::g[p->v], *nh = ::h[p->v];
for (register int j = 0; j <= T && T - j - p->w * 2 >= 0; j++) {
for (register int k = 0; k <= T - j - p->w * 2; k++) {
update(f[j + k + p->w * 2], tf[j] + nf[k]);
update(g[j + k + p->w * 2], tg[j] + nf[k]);
update(h[j + k + p->w * 2],
std::max(th[j] + nf[k], tf[j] + nh[k]));
}
}
for (register int j = 0; j <= T && T - j - p->w >= 0; j++) {
for (register int k = 0; k <= T - j - p->w; k++) {
update(g[j + k + p->w], tf[j] + ng[k]);
update(h[j + k + p->w], tg[j] + ng[k]);
}
}
}
}
}
inline void solve() {
io >> n >> T;
register int sum = 0;
for (register int i = 1; i <= n; i++) io >> w[i], sum += w[i];
if (sum == 0) {
io << '0';
return;
}
for (register int i = 1; i <= n; i++)
io >> t[i], t[i] = std::min(t[i], T + 1);
for (register int i = 1, u, v, w; i < n; i++)
io >> u >> v >> w, addEdge(u, v, w);
dfs(1, 0);
register int ans = 0;
for (register int i = 1; i <= n; i++) {
ans = std::max(
ans, std::max(*std::max_element(f[i], f[i] + T + 1),
std::max(*std::max_element(g[i], g[i] + T + 1),
*std::max_element(h[i], h[i] + T + 1))));
}
io << ans;
}
}
int main() {
solve();
return 0;
}
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