上下界网络流学习总结

有上下界的网络流。
$(u, v)$ 为一条边,$s$ 为源,$t$ 为汇,$S$ 为超级源,$T$ 为超级汇,$d$ 记录下界和。

无源汇可行流

我们从 $u$ 向 $v$ 连 $upper - lower$ 的边,$d[v] += lower$,$d[u] -= lower$。最后枚举每一个点,若 $d[i] < 0$,从 $i$ 向 $T$ 连 $-d[i]$ 的边,否则从 $S$ 向 $i$ 连 $d[i]$ 的边,然后从 $S$ 到 $T$ 跑最大流,判断是否跑满就好。

有源汇最大流

我们从 $u$ 向 $v$ 连 $upper - lower$ 的边,$d[v] += lower$,$d[u] -= lower$。最后枚举每一个点,若 $d[i] < 0$,从 $i$ 向 $T$ 连 $-d[i]$ 的边,否则从 $S$ 向 $i$ 连 $d[i]$ 的边。再从 $t$ 向 $s$ 连 $+ \infty$ 的边,然后从 $S$ 到 $T$ 跑最大流判断是否可行,若可行再从 $s$ 到 $t$ 跑最大流即为答案。

有源汇最小流

我们从 $u$ 向 $v$ 连 $upper - lower$ 的边,$d[v] += lower$,$d[u] -= lower$。最后枚举每一个点,若 $d[i] < 0$,从 $i$ 向 $T$ 连 $-d[i]$ 的边,否则从 $S$ 向 $i$ 连 $d[i]$ 的边。先从 $S$ 到 $T$ 跑一遍最大流,再从 $t$ 向 $s$ 连 $+ \infty$ 的边,然后从 $S$ 到 $T$ 再跑最大流判断是否可行,若可行则最后加入边的反向边的流量为答案。

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